La última prueba del triatlón

En el triatlón todos los competidores se zambullen juntos en el mar para cubrir la prueba de natación y al

salir toman las bicicletas para la segunda prueba. A la tercera y última etapa, la carrera a pie, llegan todos

cansados. Nada está definido. Muchas veces, el que termina la etapa de la bicicleta en el segundo puesto

corre algo más rápido que el que terminó primero y gana la competencia También sucede a menudo que,

a pesar de que el segundo corra más rápido y acorte la distancia con el primero, la carrera termina sin que

las posiciones cambien. ¿Cuánto más rápido debe ser el que se encuentra en segundo lugar? ¿En qué

momento lo alcanzará? ¿Cuán larga debe ser la carrera para que tenga posibilidades de ganar?

Una ecuación para el problema

Cuando el segundo competidor deja la bicicleta accionamos un

cronómetro y comenzamos a anotar la distancia recorrida en la

ruta por cada uno.

Vemos que el primero recorre 0,2 km (200 m) por minuto, esto es 12 km por hora, mientras que el segundo recorre 0.25 km (250 m) por minuto o 15 km por hora. Para saber dónde estará cada uno después de los ocho minutos podemos usar las siguientes fórmulas (suponiendo que sigan corriendo a la misma velocidad):

Preguntarse si en algún momento el segundo competidor alcanzará al primero es lo mismo que preguntarse si en algún tiempo T ambos estarán a la misma distancia de la partida, es decir, si en algún tiempo en el espacio recorrido por ambos será el mismo. Las fórmulas de más arriba dan el espacio recorrido, luego el segundo alcanzará al primero si en algún T sucede que:

200T + 1.800 = 250T.

Esta ecuación es nuestra pregunta, y su solución nos dará la respuesta.

Una solución para la ecuación

Ahora tenemos que resolver la ecuación planteada y luego interpretar esta solución corno respuesta para nuestro problema. Pasando de miembro o restando a ambos miembros 200 T, en la ecuación planteada arriba obtenemos que 1.800 = 50 T, y de ahí que T = 1.800 / 50 = 36. Esta es la solución.

De lo que hemos hecho deducimos que a los 36 minutos de accionado el cronómetro ambos corredores estarán en el mismo lugar. Ahora la pregunta clave es si luego de 36 minutos la carrera habrá terminado o no.

Si la carrera termina antes, el segundo no habrá tenido el tiempo suficiente para alcanzar al primero y habrá perdido. Pero si estos 36 minutos no son suficientes para que A llegue a la meta, B lo

alcanzará, lo superará y ganará el triatlón.

Veamos entonces dónde deberían estar ambos en el minuto 36. Esto no es difícil, solamente debemos reemplazar en las fórmulas T por 36. En el minuto 36, el competidor A habrá recorrido 200 x 36 + 1.800 = 9.000 metros de carrera y el competidor B, 250 x 36 = 9000 metros.

iClaro, ya sabiamos que estarían en el mismo lugar! Como la carrera es de 10.000 metros, en ese momento están aún corriendo. Al final, celebra B.

Un poquito más

Supongamos que en vez de la ecuación 200 T + 1.800 = 250 T hubiéramos tenido, por ejemplo, la ecuación 200 T + 2.200 = 250 T. Su solución es T = 44. En el contexto del problema del triatlón, a partir de esta solución concluiríamos que el competidor A es alcanzado por el B luego de haber recorrido 250 x 44 = 11.000 metros de carrera, Pero la carrera era de 10,000 metros, luego B pierde. En este

caso la resolución de la ecuación planteada, en vez de decirnos en qué momento B alcanza a A, nos dice que durante la carrera B no alcanza a A.

El cambio del coeficiente 1.800 por 2.200 en la ecuación produjo que la solución cambiara de 36 a 44.

En la siguiente tabla hay varios coeficientes posibles para cambiarlos por 1.800 y la correspondiente solución.

Observamos que cuanto más pequeño es el cambio en el coeficiente, más pequeña es la diferencia entre las correspondientes soluciones. Esto es siempre asi. Cambios pequeños en los coeficientes producen cambios pequeños en la solución.

1) Resuelve las siguientes ecuaciones: 120 T + 900 = 150 T ; 160 T + 1.000 = 180 T.

2) Un competidor A corre 150 metros por minuto y otro competidor B corre 120 metros por minuto. Si el B parte

900 metros más adelante que A, ¿a qué distancia de la largada alcanzará el competidor A al B? (Ayuda: usar la

primera ecuación del punto anterior).

3) En un maratón de 20 km participan dos competidores que corren a 220 metros por minuto y 240 metros por

minuto, respectivamente. El segundo parte cuando el primero ya recorrió 1.800 metros

¿Quién gana?

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