Logic Mind
Placas de autos en algunos países
Tomemos el ejemplo de las placas en los países donde éstas tienen tres letras seguidas de tres
números. Las letras ch, ll y ñ no se usan, por eso nos quedan 26 de las 29 letras del abecedario para
escribir placas. Algunas placas posibles son: FGS 271, AOZ 339, BBK 003. Supongamos que cada año
en estos países se matriculan unos 500,000 carros nuevos a los que hay que darles una identificación.
Estos se suman a unos 10'000.000 de vehículos que están circulando. ¿Hasta cuándo podrán darse
placas nuevas a todos? ¿Qué podríamos hacer cuando se acaben?
Placas para una pequeña aldea
Muchas veces resulta útil empezar a
contar un caso más simple que aquel
que realmente nos interesa. Por ejemplo,
pensemos en placas que se escriben con
una letra y dos números. Imaginemos
además que sólo podemos usar la A, la B o
la C y sólo los dígitos 1 y 2.
El gráfico muestra una manera de escribir
todas las placas posibles en las condiciones
dadas. Los gráficos de este tipo se llaman
árboles. A pesar de estar patas para arriba
En su raíz pensemos que hay una placa
vacía que debemos llenar con una letra A, B
o C y dos números 1 ó 2. Las tres primeras
ramas se corresponden con la elección de
la primera letra. Por eso hay tres ramas,
una para la A, otra para la B, y una tercera
para la C. El nivel verde muestra estas
elecciones. Luego, cada una de éstas se
divide en dos ramas más pequeñas, para
permitir elegir el primer número, que debe
ser 1 ó 2. El nivel azul cielo muestra las
placas con la letra y el primer número ya elegidos. En el último paso, cada uno de
los nudos se divide en dos ramas para
elegir el último número, que también debe
ser 1 Ó 2. El nivel azul, las hojas del árbol.
tiene todas las placas posibles. Son 12,
pues 12 = 3 x 2 x 2.
Contando placas
La estrategia para contar las placas con tres letras y tres números, es la misma que usamos para las placas de la aldea. Imaginemos entonces un gran árbol que tendrá a todas estas placas. De su raíz se abrirán 26 ramas. una por cada una de las letras del abecedario. De cada uno de estos nudos saldrán otras 26 ramas correspondientes a todas las posibles elecciones para la segunda letra. Así, el segundo nivel de este árbol tiene 26 x 26 = 676 nudos. Como la placa tiene tres letras, tenemos que dividir cada uno de estos 676 nudos en 26 ramas cada uno, para obtener todas las posibles combinaciones de tres letras con las que puede empezar una placa de verdad. Estas son 676 x 26 = 17576 combinaciones.
Estas son todas las palabras de 3 letras que hay, con o sin sentido claro. No hemos terminado aún. Nos faltan tres niveles para poder elegir los 3 números. Como hay 10 dígitos posibles, en cada paso se abrirán 10 ramas.
Resultado final: 17.576x 10 x 10 x 10 = 17'576.000.
¡Más de 17 millones de placas posibles!
Un poquito más
Todas las palabras de tres letras son combinaciones con repetición de largo 3 de 26 letras. Ya sabemos que hay exactamente
17.576 de éstas. La primera es la AAA y la última, la ZZZ.
Todos los números de tres digitos son combinaciones con repetición de largo 3 de los digitos 0 ... 9. Ya sabemos que hay
exactamente 1.000 de éstos. El primero es el 000 y el último, el 999.
Las placas de los carros se forman con una palabra de 3 letras y un número de 3 digitos, luego la cantidad total de placas es
17576 x 1.000:: 17'576.000 como ya calculamos. Aquí hemos usado el principio de la multIplicación.
Ahora supongamos que se pueden mezclar letras y números. Bueno, en este caso habria tantas placas como combinaciones con repetición de largo 6 de 26+10 simbolos. Estas son 36 x 36 x 36 x 36 x 36 x 36 = 36~ = 2.176'782.336 ¡Qué diferencia! Más de 2.000 millones. Para un pais entero sobran. pero ... ¿alcanzarían para todos los carros del mundo?
Esto nos da una idea sobre qué hacer cuando las placas ya no alcancen. ¿Otras ideas? Discútelo en el colegio.
1) Arma el árbol completo de las combinaciones con repetición de largo 2 de 4 colores: rojo, verde, azul y
azul cielo. Recuerda que las combinaciones azul-verde y verde-azul son distintas (Ayuda: en total son 16;
es decir, tu árbol tendrá 16 hojas).
2) El sistema binario utiliza los números 0 y 1 únicamente. Los computadores funcionan con este
sistema y especialmente con números de 8 dígitos como 00001010 ó 11011011. Estos no son más que
combinaciones con repetición de largo 8 de los dos digitos 0 y 1 ¿Cuántos números binarios hay de 8
dígitos?
