Un festival de pizzas

Todas las pizzerías ofrecen pizza de mozzarella, de provolone y muy posiblemente de roquefort.

Algunas venden combinaciones de dos, tres o hasta cuatro quesos. Puede ser de mozzarella,

provolone y gruyer o gruyer y roquefort. Por qué no de mozzarella, provolone y roquefort. A todos

se nos ocurren rápidamente otras opciones. Entre todos podríamos hacer una larga lista. Pero,

¿cuán larga puede ser esta lista?

A preparar pizzas

QUESOS DISPONIBLES: mozzarella, provolone, gruyer y roquefort.

Prepararemos pizzetas con un solo queso, y pizzas grandes con dos, tres o cuatro quesos.

Comencemos con las pizzetas. Podemos preparar cuatro tipos: de mozzarella, de provolone, de gruyer y de roquefort.

Pasemos ahora a las pizzas de dos quesos. Busca lápiz y papel para armar la lista.

Para no olvidar ninguna opción ni repetir, listaremos primero todas las posibles con mozzarella. Luego, todas las que tengan provolone, teniendo cuidado de no repetir la que tenga mozzarella. Después continuamos con las que tienen gruyer, sin poner la que tiene mozzarella ni la que tiene provolone. En este punto habremos terminado, pues las pizzas con roquefort ya están en la lista, el roquefort apareció con mozzarella, con provolone y con gruyer. Bueno, excelente. Tenemos seis pizzas con dos quesos.

Sigamos adelante con las de tres quesos, Para hacer la lista anterior elegíamos un queso y lo combinamos con los restantes, cuidando de no repetir. Para hacer esta lista elegimos una combinación de dos quesos de la lista anterior y le agregamos un tercer queso, cuidando de no repetir. El resultado es la lista que vemos en el segundo recuadro.

Para terminar, sólo nos falta una pizza más: la de cuatro quesos, Sólo hay una.

El argumento que sigue muestra que la lista de tres quesos está completa, es decir que no nos hemos olvidado de ninguna combinación posible.

Argumento: elegir tres de los cuatro quesos que hay para usar en una pizza, es lo mismo que elegir el queso que no usaremos. Cada vez que elegimos tres quesos para una pizza, con el que queda podemos hacer una pizzeta de un solo queso. Por lo tanto, la cantidad de pizzas de tres

quesos es la misma que la cantidad de pizzetas de un solo queso.

Un poquito más

¿Te animas a agregar un queso más? Bueno, agreguemos... parmesano. Ahora con cinco quesos en vez de cuatro aprovecharemos lo que ya hicimos. Separamos las que no tienen parmesano de las que sí. Las que no tienen parmesano son exactamente todas las elecciones que ya contamos. Sólo nos falta contar las elecciones que sí tienen parmesano. Si le agregamos parmesano a cada una de las pizzas que hacíamos con los otros quesos obtendremos 16 pizzas con parmesano, ¿Son todas estas las posibles pizzas con parmesano? La respuesta es afirmativa, pues si a una de estas pizzas le quitamos el parmesano obtenemos una pizza de las

que ya habíamos contado. Esto muestra que la cantidad de elecciones sin parmesano es exactamente la misma que la cantidad de

elecciones con parmesano.

Concluimos que hay 16 + 16 = 32 elecciones con cinco quesos.

Si agregáramos un sexto queso, con el mismo razonamiento concluiríamos que podemos hacer el doble

de pizzas que con cinco quesos. En general, con m quesos hay 2m elecciones. Esto es: un conjunto de m elementos tiene 2m

subconjuntos.

1) Haz una lista con las 32 elecciones posibles con cinco quesos, separando las que tienen parmesano y

las que no.

2) Anota en una lista cuántas de las anteriores tienen un queso, cuántas tienen dos quesos. etcétera.

3) ¿Cuántas pizzas con dos quesos puedes hacer usando seis tipos de quesos? (Ayuda: haz una lista de

todas y luego cuéntalas).

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